Путеводитель для влюбленных в математику - стр. 9
Вот что нам надо будет сделать:
1. Предположить, что количество простых чисел конечно;
2. Показать, что это предположение ведет к невозможному выводу;
3. Сделать умозаключение, что, раз предположение ведет к логическому противоречию, оно ложно;
4. Вывести из этого, что простых чисел бесконечно много.
А теперь перейдем к делу. Предположим, что простые числа можно пересчитать, и посмотрим, к чему это приведет.
Если количество простых чисел конечно, должно существовать наибольшее простое число P – крайнее в ряду простых чисел. В таком случае полный перечень простых чисел будет выглядеть так:
2, 3, 5, 7, 11, 13, …, P.
Перемножим все эти числа и приплюсуем единицу. Назовем получившееся гигантское число N:
N = (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × … × P) + 1.
Число N – простое[22]? Наше предположение заставляет нас ответить: нет, потому что N больше P, последнего простого числа. Значит, N – составное число, и его можно разложить на множители. Здесь мы попадаем в западню.
Мы знаем, что у N есть простые делители. Может ли таким делителем быть 2? Мы утверждаем: нет. Посмотрите на формулу для вычисления N и обратите внимание, что число в скобках четное, потому что среди множителей присутствует 2:
N = ( × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × … × P) + 1.
Таким образом, N на единицу больше некоторого гигантского четного числа. Другими словами, N – нечетное, следовательно, оно не делится на 2.
Ну и ладно. Мы же знаем, что у N есть простой делитель, так что нет ничего страшного в том, что 2 не подходит. Как насчет 3? Посмотрим снова на число в скобках и обнаружим, что среди множителей есть 3:
N = (2 × × 5 × 7 × 11 × 13 × … × P) + 1.
Таким образом, N на единицу больше некоторого гигантского числа, делящегося на 3. Это означает, что при вычислении частного N / 3 мы получим остаток 1. Следовательно, N не делится на 3.
Видите, куда мы движемся? Возьмем очередное простое число, 5. Мы утверждаем, что N не делится на 5, потому что оно на единицу больше числа, без остатка делящегося на 5:
N = (2 × 3 × × 7 × 11 × 13 × … × P) + 1.
Точно так же мы доказываем, что N не делится ни на 7, ни на 11, ни на 13 и ни на какое угодно другое простое число!
К чему мы пришли? Наше предположение о том, что количество простых чисел конечно, привело нас к двум выводам:
– N делится на некое простое число;
– N не делится ни на какое простое число.
Но это же абсурдно! Из ловушки можно выбраться, только если признать, что предположение о конечном количестве простых чисел было ложным. Таким образом, получается, что простых чисел бесконечно много.