Путеводитель для влюбленных в математику - стр. 12

Изучение простых чисел относится к области математики под названием теория чисел. Британский математик Годфри Харди говорил: «До сих пор никто не обнаружил, как применить теорию чисел в военных целях».

Харди не мог предвидеть появления глобальной компьютерной сети и того факта, что безопасность в сети будет зависеть от простых чисел. Каким образом?

Пусть P и Q – два больших простых числа, скажем стозначных. Перемножить их – титанический труд для человека, но компьютер может посчитать произведение N = P × Q мгновенно. В то же время мы угодим в тупик, если попытаемся выяснить, какие два простых множителя дают N при умножении. Никто не знает эффективного алгоритма разложения таких огромных чисел на простые множители[25].

(Как это ни странно, определить, простое число или составное, можно достаточно быстро; однако найти простые множители больших чисел совсем не просто.)

Удивительно, однако эта диспропорция – легко перемножить, сложно разложить на множители – легла в основу создания шифров. Криптографическая система с открытым ключом[26] устроена так, что можно раскрыть метод шифровки сообщений, но это не облегчит расшифровку засекреченных текстов. Мы не станем сейчас погружаться в детали метода, но основная идея состоит в том, что в процессе шифрования используется составное число N, представляющее собой произведение двух огромных простых чисел: N = P × Q. Расшифровка требует знания конкретных простых чисел P и Q. Если мы знаем N, этого достаточно для шифровки, но не для декодирования, а найти его простые множители все еще чрезвычайно сложно.

Мы используем криптографическую систему с открытым ключом всякий раз, когда совершаем покупки в интернете. Прежде чем браузер вышлет продавцу номер нашей кредитной карты, он получает от продавца открытый ключ шифрования. Браузер шифрует номер карты с помощью метода, о котором мы рассказывали. Если перехватить ключ, это ничего не даст, потому что метод шифровки не говорит о методе расшифровки (а его знает только продавец). Когда зашифрованное сообщение приходит на компьютер продавца, индивидуальный метод расшифровки раскрывает номер карты лишь законному получателю информации.

Криптографическая система с открытым ключом имеет и военные применения, вплоть до системы приведения в боевую готовность ядерного оружия[27].

Древних римлян часто поминают дурным словом за их громоздкую систему записи чисел. Люди не любят римские числа, так как они обременяют вычисления. Никто не обрадуется перспективе перемножать XLVII и DCDXXIV. А вот задача умножить 47 на 924 не выглядит настолько угрожающей (хотя большинство из нас все равно побежит за калькулятором).