Путеводитель для влюбленных в математику - стр. 10
Представленное нами доказательство относится к разряду доказательств от противного. Мы предположили, что утверждение, обратное тому, которое мы хотим доказать, верно, затем продемонстрировали, что это приводит к безвыходной ситуации, после чего сделали умозаключение, что наше предположение ложно, а утверждение, требующее доказательства, истинно. Путеводная путаница, софистика-эквилибристика!
Есть и другой способ доказательства: создать некий механизм по производству простых чисел. Мы засыпаем в него пригоршню простых чисел и – вуаля! – оттуда высыпаются новые простые числа. Вот как работает эта машина.
Зачерпнем полдюжины простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11 и 13. Перемножим их и приплюсуем единицу:
(2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13) + 1 = 30 031.
Ясно, что 30 031 не делится на 2, – это легко заметить, потому что последняя цифра нечетная. На 3 оно тоже не делится (потому что на единицу больше, чем 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13, которое делится на 3). Точно так же оно не делится на 5, 7, 11 и 13. Стало быть, или это число само простое, или его можно разложить на простые множители, не входящие в наш перечень. Кости выпали так, что число 30 031 – составное. Оно раскладывается на простые множители следующим образом: 59 × 509. Этих чисел не было в нашем перечне.
Возьмем их и предыдущие полудюжины чисел и построим новое число:
(2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 59 × 509) + 1,
что равно 901 830 931. Кости выпали так, что число оказалось простым[23].
Мы можем добавить его в наш перечень и наштамповать так еще много чисел – либо простых, либо разложимых на простые множители. Эта операция позволяет бесконечно получать все новые и новые простые числа.
Это не единственное доказательства того, что простых чисел бесконечно много. Вот вам еще одно.
Как и в первом доказательстве, предположим, что количество простых чисел конечно, и покажем, что это предположение ведет к противоречию. Представим, что самое большое простое число равно P, и составим перечень простых чисел:
2, 3, 5, 7, 11, 13, …, P.
Пусть N – результат перемножения всех этих чисел:
N = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × … × P.
Теперь давайте подумаем обо всех числах от 1 до N включительно. Каждое из них (за исключением 1) делится на одно или несколько простых чисел; иными словами, любое число (кроме 1) делится на какое-то простое число.
Сколько чисел от 1 до N делится на 2? Очевидно, что половина (четные числа). Вычеркнем их и оставим лишь нечетные:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, …