Высшая математика. Шпаргалка - стр. 4
/ a и y = – bx / a (b>2 = c>2 – a>2).
Парабола – это геометрическое место точек равноудаленных от данной точки F (фокуса параболы) и данной прямой PQ(директрисы параболы). Расстояние от фокуса до директрисы FC называется параметром параболы и обозначается р. Вершина параболы – точка О. Каноническое уравнение параболы: у>2 = 2рх.
Рис. 5
5. Аналитическая геометрия в пространстве. Плоскость
Всякая поверхность в пространстве определяется уравнением вида f(x, y, z) = 0.
Общее уравнение плоскости:Ах + Ву + Сz + D = 0. Если А, В, С, D не равны нулю, то уравнение называется полным.
При D = 0 уравнение Ах + Ву + Сz = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат.
Если А = 0, то уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ох. Если два из коэффициентов А, В, С равны нулю одновременно, то уравнение определяет плоскость, параллельную одной из координатных плоскостей: при А = 0 и В = 0 параллельно плоскости хОу, при А = 0 и С = 0 параллельно хОz, при В = 0 и С = 0 параллельно yOz. Уравнение Cz = 0 определяет плоскость xOy, By = 0 – плоскость xOz, Ax = 0 – плоскость yOz. Уравнение плоскости в «отрезках»: х / а + у / b + z / c = 1. Расстояние от точки М (х>1, у>1, z>1) до плоскости:
Пусть имеются две плоскости А>1х + В>1у + С>1z + D>1 = 0 и А>2х + В>2у + С>2z + D>2 = 0. Угол φ между этими плоскостями:
Условие равенства двух плоскостей: А>1/ А>2 = В>1/ В>2 = С>1 / С>2 = D>1 / D>2. Условие параллельности плоскостей: А>1 / А>2 = В>1 / В>2 = С>1 / С>2. Условие перпендикулярности плоскостей: А>1А>2 + В>1В>2 + С>1С>2 = 0. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М (х>1, у>1, z>1) параллельно плоскости, заданной уравнением Ах + Ву + Сz + D = 0: А(х – x>1) + В(у – y>1) + С(z – z>1) + D = 0. Уравнение плоскости, проходящей через три точки М>1 (х>1, у>1, z>1), М>2 (х>2, у>2, z>2), М>3 (х>3, у>3, z>3):
Уравнение плоскости, проходящей через две точки М>1(х>1, у>1, z>1) и М>2(х>2, у>2, z>2) перпендикулярно к плоскости, заданной уравнением A>x + B>y + C>z + D = 0:
Уравнение плоскости, проходящей через точку М>1 (х>1, у>1, z>1) перпендикулярно двум непараллельным плоскостям А>1х + В>1у + С>1z + D>1 = 0 и А>2х + В>2у + С>2z + D>2 = 0, имеет вид:
Имеем три плоскости, заданные общими уравнениями:
6. Прямая в пространстве
Всякая прямая определяется в пространстве системой двух уравнений
Канонические (симметричные) уравнения прямой: (x – x>0) / m = (y – y>0) / p = (z – z>0) / q, прямая проходит через точку M>0 (x>0, y>0, z>0). Угол φ между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями:
Условие параллельности двух прямых: m>1/ m>2 = p>1 / p>2 = q>1/ q>2. Условие перпендикулярности двух прямых: