Высшая математика. Шпаргалка - стр. 3

При повороте осей на некоторый угол φ справедливы следующие формулы (где х, у – старые координаты точки; х*, у* – новые координаты этой же точки):

x = x* cosα – y* sinα;

y = x* sinα + y* cosα

или

x* = x cosα + y sinα;

y* = – x sinα + y cosα.

Линия L, представленная в декартовой системе уравнением n–степени называется алгебраической линиейn–порядка.

Окружность с радиусом R и центром в начале координат описывается уравнением: х^>2 + у^>2 = R^>2, если центром окружности является некоторая точка С (а, b), то уравнением:

(х – а)^>2 + (у – b)^>2 = R^>2.

Чтобы уравнение Ах^>2 + Вх + Ау^>2 + Су + D = 0 описывало окружность, необходимо, чтобы оно не содержало члена с произведением ху, чтобы коэффициенты при х^>2 и у^>2 были равны, чтобы В^>2 + С^>2 – 4АD > 0 (при невыполнении данного неравенства уравнение не представляет никакой линии).

Координаты центра окружности, описанной уравнением Ах^>2 + Вх + Ау^>2 + Су + D = 0 и ее радиус: a = –B / 2A, b = –C / 2A, R^>2 = (В^>2 + С^>2 – 4АD) / 4A^>2.

Эллипс – сжатая окружность (рис. 3).

Рис. 3

Прямая АА_>1 называется осью сжатия, отрезок АА_>1 = 2а – большой осью эллипса, отрезок ВВ_>1 = 2b – малой осью эллипса (a > b) точка О – центром эллипса, точки А, А_>1, В, В_>1 – вершинами эллипса. Отношение k = b / aкоэффициент сжатия величина α = 1 – k = (a – b) / a – сжатие эллипса. Эллипс обладает симметрией относительно большой и малой осей и относительно своего центра.

Каноническое уравнение эллипса: x^>2 / a^>2 + y^>2 / b^>2 = 1.

Другое определение эллипса: эллипс есть геометрическое место точек (М), сумма расстояний которых до двух данных точек F, F_>1 имеет одно и то же значение 2а (F_>1M + FM = 2a) (рис. 4).

Рис. 4

Точки F и F_>1 называются фокусами эллипса, а отрезок FF_>1 – фокусным расстоянием, обозначается FF_>1 = 2с, причем с < а. Эксцентриситет эллипса ε – это отношение фокусного расстояния к большой оси ε = с / а. Эксцентриситет эллипса меньше единицы, имеем: k^>2 = 1 – ε^>2.

Гипербола – это геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точек F, F_>1 имеет одно и то же абсолютное значение (рис. 5). |F_>1M – FM| = 2a. Точки F, F_>1 называются фокусами гиперболы, расстояние FF_>1 = 2c – фокусным расстоянием. Справедливо: c > a.

Каноническое уравнение гиперболы: х^>2 / а^>2 + у^>2 / (а^>2 – с^>2) = 1. Асимптоты гиперболы заданы уравнениями у = bx /