Высшая математика. Шпаргалка - стр. 6

А + В = В + А, (А + В) + С = А + (В + С), А + 0 = А.

Произведением матрицыАна числор называется матрица, элементы которой равны рa_>ij.

Справедливы свойства:

α(βA) = (αβ)А;

(А + В)α = αА + αВ;

(α + β)А = αА + βА.

Произведением двух квадратных матриц А и В называется матрица С, элемент которой, находящийся на пересечении i–ой строки и k–го столбца, является суммой парных произведений элементов i–ой строки первой матрицы на элемент k–ой строки второй матрицы С = АВ. То же правило распространяется на умножение прямоугольных матриц, у которых число столбцов матрицы–множимого равно числу строк матрицы–множителя.

Матрицы, для которых АВ = ВА, называются коммутирующими.

Справедливы свойства:

1) ЕА = АЕ = А;

2) А(ВС) = (АВ)С;

3) a(АВ) = (aА)В = А(aВ);

4) (А_>1 + А_>2)В = А_>1В + А_>2В, А(В_>1 + В_>2) = АВ_>1 + АВ_>2;

5) А0 = 0А = 0;

6) (АВ)^>т = А^>тВ^>т.

При умножении двух ненулевых матриц может получиться нулевая матрица.

Определителем второго порядка, соответствующим матрице

Свойства определителя:

1) величина определителя не меняется, если заменить его строки соответствующими столбцами или если к элементам какой–либо его строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и тоже число;

2) определитель поменяет знак при перемене мест его строк или столбцов;

3) определитель будет равен нулю, если элементы какого–либо столбца (или строки) равны нулю или элементы двух строк (или столбцов) соответственно равны.

МиноромM_>ik элемента a_>ik определителя IАI называется определитель полученный из А вычеркиванием той строки и того столбца которым принадлежит этот элемент.

Алгебраическим дополнениемA_>ik элемента a определителя |A| называется его минор, взятый со знаком (–1)^>i+k, A = (–1)^>i+>kM_>ik.

Определителемn–порядка, соответствующим квадратной матрице n–го порядка, называется число, равное сумме парных произведений элементов какой–либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Теорема. Если А и В – квадратные матрицы одного порядка с определителями |A| и |B|, то определитель матрицы С = АВ равен: |C | = |A| |B|.

Обратной матрицей для квадратной матрицы А называется матрица А^>–1, которая удовлетворяет условиям АА^>–1= А^>–1А = Е. Матрица А называется вырожденной, если ее определитель |A| равен нулю.

Теорема. Матрица

где A_>ik – алгебраическое дополнение элемента a_>ik невырожденной матрицы А, является обратной для А.

Пусть дана система