Высшая математика. Шпаргалка - стр. 7

Если каждому значению n из натурального ряда чисел – 1, 2, n – ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число а, то множество занумерованных вещественных чисел – а_>1, а_>2, а_>n – называется числовой последовательностью (последовательностью), числа а_>n называются элементами или членами последовательности.

Числовая последовательность:

{a_>n},a_>n= f(n),

где n = 1, 2, 3… – номер члена последовательности.

Cпособы задания последовательностей:

1) аналитический (с помощью формулы n–члена);

2) рекуррентный (путем задания первого члена или нескольких членов и формулы для определения любого члена по известным членам);

3) словесный.

Суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей {x_>n} и {y_>n} называются соответственно следующие последовательности: {x_>n + y_>n}, {x_>n – y_>n}, {x_>n × y_>n}, {x_>n / y_>n}, в случае частного y_>n ≠ 0. Если в нуль обращается лишь конечное число членов последовательности знаменателя, то частное определяется с номера, отличного от нуля члена последовательности.

Последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого n выполняется условие: a_>n+1 > a_>n (a_>n+1 < a_>n). Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Последовательность называется невозрастающей (неубывающей), если для любого n выполняется условие: a_>n+1 ≤ a_>n (a_>n+1 ≥ a_>n).

Невозрастающие и неубывающие последовательности называются монотонными.

Последовательность {a_>n} называется сходящейся, если существует такое число А, что для любого положительного числа ε > 0 найдется такой номер N, что при всех n > N |a_>n – A| < ε. Если последовательность не сходится, то она называется расходящейся.

Число А называется пределом последовательности {a_>n}, если для ε > 0 существует такое натуральное число N, что при всех n > N |a_>n– A| < ε. Обозначение предела последовательности:

Теорема. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Для подпоследовательностей справедливо:

1) если последовательность сходится к пределу А, то и ее подпоследовательность сходится к пределу А;

2) если все подпоследовательности некоторой последовательности сходятся, то все они сходятся к одному и тому же пределу и к нему же сходится исходная последовательность.

Теорема. Предел суммы (разности), произведения и частного равен сумме (разности), произведению и частному пределов, т. е., если