Высшая математика. Шпаргалка - стр. 9

} тоже бесконечно мала;

9) произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Последовательность {а_>n} называется сходящейся, если существует такое вещественное число А, что последовательность {а_>n – А} является бесконечно малой. Число А будет пределом последовательности:

.

Сходящуюся последовательность можно представить в виде {a_>n} = {A + γ_>n}, где {γ_>n} – бесконечно малая последовательность.

Бесконечно малые последовательности являются сходящимися с пределом, равным нулю, бесконечно большие – расходящимися (сходящимися к бесконечности).

Точка бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности, если в любой ее ε–окрестности содержится бесконечно много элементов данной последовательности.

Лемма. Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с ее пределом.

Основные свойства сходящихся последовательностей:

1) всякая сходящаяся последовательность имеет один предел;

2) сходящаяся последовательность {a_>n} ограниченна;

3) пусть последовательности {a_>n} и {b_>n} сходятся и

, тогда сходятся и последовательности {cx_>n} (c = const) {a_>n ± b_>n} {a_>n × b_>n} {a_>n / b_>n} (в случае частного B ≠ 0, b_>n ≠ 0, n = 1, 2, …). И их пределы вычисляются по общим правилам.

Теорема сравнения (предельный переход в неравенствах). Пусть заданы последовательности {a_>n}, {b_>n}. Тогда если последовательности {a_>n}, {b_>n} таковы, что a_>n ≤ (≥) b_>n, то

(данное утверждение неверно для строгих неравенств).

Теорема (принцип двустороннего ограничения). Пусть заданы последовательности {a_>n}, {b_>n}, {c_>n}. Тогда если a_>n ≤ b_>n ≤ c_>n и последовательности {a_>n} и {c_>n} сходятся к одному и тому же пределу В, то последовательность {b_>n} тоже сходится к тому же пределу:

.

Следствия:

1) если все члены сходящейся последовательности {a_>n} не отрицательны (не положительны), то предел последовательности есть число неотрицательное (неположительное),

;

2) если все элементы сходящейся последовательности {a_>n} находятся на отрезке [a, b], то и предел этой последовательности {a_>n} лежит на данном отрезке,

;

3) если все члены сходящейся последовательности {a_>n} a_>n ≤ (і) В, то

, где В – некоторое число.

Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Всякая неубывающая (невозрастающая) последовательность {a_>n}, ограниченная сверху (снизу) сходится. Иначе для того чтобы монотонная последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченна.