Высшая математика. Шпаргалка - стр. 11

Теорема (признак сходимости Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда a_>n удовлетворяют условиям |a_>n| > |a_>n +1 | (n = 1, 2…) и

Ряд u_>n(x) называется функциональным, если его члены являются функциями действительной переменной х.

Областью сходимости функционального ряда называется совокупность тех значений х, при которых функциональный ряд сходится. Если функциональный ряд сходится при х = х_>0, то х_>0 называется точкой сходимости. Если ряд сходится в каждой точке некоторого множества, то говорят, что ряд сходится на этом множестве.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множествеМк функцииS(x), если для всякого положительного ε найдется такое число N, что для всех n > N и для всех х, принадлежащих множеству М, справедливо неравенство:

Теорема. Если члены ряда u_>n(x) – непрерывные функции и ряд на множестве М сходится равномерно, то и S(x) =

Степенным рядом называется функциональный ряд вида а_>0 + а_>1(х – х_>0) + а_>2(х – х_>0)^>2 +…+ а_>n(x – x_>0)^>n +… = a_>k(x – x_>0)^>k. Числа a_>i (i = 0, 1, 2…) называются коэффициентами ряда. Число R называется радиусом сходимости.

Свойства степенных рядов.

Теорема 1. Если степенной ряд a_>k(x – x_>0)^>k имеет радиус сходимости R, то в любом круге комплексной плоскости (или на любом отрезке вещественной оси) вида |x – x_>0| < r, r < R он равномерно сходится.

Теорема 2. Если для степенного ряда

Следствие.

1. На множестве {x| |x – x_>0| < r}, r < R сумма степенного ряда является непрерывной функцией.

Конец ознакомительного фрагмента.