Теория пределов и нейросети. Практикум - стр. 7

Теперь выделим основные члены в числителе и знаменателе:

[ = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1}} = \lim_{{x \to \infty}} \left(2 + \frac{1}{x}\right) ]

Поскольку ( \lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{x} = 0 ), то предел равен:[ = 2 ]

Таким образом, (\lim_{{x \to \infty}} \frac{{2 + \frac{1}{x} – \frac{5}{x^3}}}{{1 + \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x^3}}} = 2 ).

Выводы:

Работа над ошибками.

Маша

Применяем правило Лопиталя:lim (x->∞) (2 + 1/x – 5/x^3)/(1 + 1/x^2 – 1/x^3)

Чтобы найти предел[\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x} – \frac{5}{x^3}}{1 + \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x^3}}]с помощью правила Лопиталя, проверим, что предел имеет форму (\frac{\infty}{\infty}):

Числитель: (2 + \frac{1}{x} – \frac{5}{x^3} \to 2)

Знаменатель: (1 + \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x^3} \to 1)

В данном случае предел не имеет формы (\frac{\infty}{\infty}), поскольку при (x \to \infty) числитель стремится к 2, а знаменатель к 1. Таким образом, можно сразу подставить значение:

[\frac{2 + 0 – 0}{1 + 0 – 0} = \frac{2}{1} = 2]

Следовательно,

[\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x} – \frac{5}{x^3}}{1 + \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x^3}} = 2]

Найти производную (1/x – 5/x^3 + 1/x^2 – 1/x^3)

Чтобы найти производную функции [f(x) = \frac{1}{x} – \frac{5}{x^3} + \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x^3}]

, можно преобразовать ее в более удобный вид и применить правило производной:

[f(x) = x^{-1} – 5x^{-3} + x^{-2} – x^{-3}]

Теперь найдем производную каждого члена:

( \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -x^{-2} )

( \frac{d}{dx}(-5x^{-3}) = 15x^{-4} )

( \frac{d}{dx}(x^{-2}) = -2x^{-3} )

( \frac{d}{dx}(-x^{-3}) = 3x^{-4} )

GPTutor

Чтобы найти предел функции ( f(x) = \frac{2x^3 + x^2 – 5}{x^3 + x – 1} ) при ( x \to \infty ), мы будем анализировать поведение выражений в числителе и знаменателе.