Теория пределов и нейросети. Практикум - стр. 6
Сначала проверим знаменатель дроби ( \frac{1}{x – 2} ). При ( x \to 2 ), знаменатель стремится к 0, что может привести к бесконечности, если числитель не стремится к 0.
Разложим числитель и знаменатель на множители:
[ f(x) = \frac{2x}{(x-2)(x+2)} – \frac{1}{x-2} ]
Теперь рассмотрим предел при ( x \to 2 ):
[ \lim_{{x \to 2}} f(x) = \lim_{{x \to 2}} \left( \frac{2x}{(x-2)(x+2)} – \frac{1}{x-2} \right) ]
Здесь числитель и знаменатель первого слагаемого оба стремятся к 0 при ( x \to 2 ), что создаёт неопределённость типа ( \frac{0}{0} ). Используем правило Лопиталя:
[ \lim_{{x \to 2}} f(x) = \lim_{{x \to 2}} \frac{\frac{d}{dx}[2x]}{\frac{d}{dx}[(x-2)(x+2)]} – \lim_{{x \to 2}} \frac{\frac{d}{dx}[1]}{\frac{d}{dx}[(x-2)]} ]
Вычислим производные:
[ \lim_{{x \to 2}} f(x) = \lim_{{x \to 2}} \frac{2}{2x} – \lim_{{x \to 2}} \frac{-1}{(x-2)^2} ]
Подставляем ( x = 2 ):
[ \lim_{{x \to 2}} f(x) = \frac{2}{4} – \frac{-1}{0^2} ]
[ \lim_{{x \to 2}} f(x) = \frac{1}{2} + \infty ]
Таким образом, предел функции ( f(x) ) при ( x \to 2 ) равен ( \infty ).
Если у вас есть ещё вопросы или нужно что-то ещё разъяснить, пожалуйста, дайте знать!
Глава 3
11. Найти предел функции f(x) = (2x^3 + x^2 – 5)/( x^3 + x – 1) при x стремящемся к бесконечности.
ChatGPT
Для нахождения предела функции при x стремящемся к бесконечности можно разделить каждое слагаемое на x^3 и применить правило Лопиталя для бесконечностей.
f(x) = (2x^3 + x^2 – 5)/( x^3 + x – 1) = (2 + 1/x – 5/x^3)/(1 + 1/x^2 – 1/x^3)
Теперь применяем правило Лопиталя:
lim (x->∞) (2 + 1/x – 5/x^3)/(1 + 1/x^2 – 1/x^3)
= lim (x->∞) (0 – 15/x^4)/(0 – 3/x^4)
= lim (x->∞) 5
Таким образом, предел функции f(x) при x стремящемся к бесконечности равен 5.
GPTutor
Чтобы найти предел (\lim_{{x \to \infty}} \frac{{2 + \frac{1}{x} – \frac{5}{x^3}}}{{1 + \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x^3}}}), давайте разложим числитель и знаменатель в ряды Тейлора до необходимой степени, когда ( x \to \infty ).
Числитель:[ 2 + \frac{1}{x} – \frac{5}{x^3} ]
Разложим первые члены в ряд Тейлора:
[ 2 + \frac{1}{x} – \frac{5}{x^3} = 2 + \frac{1}{x} – 5 \cdot \frac{1}{x^3} + O\left(\frac{1}{x^4}\right) ]
Знаменатель:[ 1 + \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x^3} ]
Разложим первые члены в ряд Тейлора:
[ 1 + \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x^3} = 1 + \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x^3} + O\left(\frac{1}{x^4}\right) ]
Теперь подставим эти разложения в исходное выражение:
[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{{2 + \frac{1}{x} – \frac{5}{x^3}}}{{1 + \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x^3}}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{2 + \frac{1}{x} – 5 \cdot \frac{1}{x^3} + O\left(\frac{1}{x^4}\right)}}{{1 + \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x^3} + O\left(\frac{1}{x^4}\right)}} ]