Аннотация
Книга, как представляется из краткого изложения, посвящена изучению пределов в контексте математического анализа. В ней объясняется важность понятия предела как неотъемлемой части для дальнейшего освоения более сложных концепций, таких как производные и интегралы.
**Первый раздел** книги вводит читателя в теоретические аспекты пределов. Обсуждается, как предел функции может отражать поведение функции, когда аргумент стремится к какому-то определенному значению. Это понимание критически важно для анализа функций и изучения их свойств. Книга предлагает различные методы нахождения пределов, включая как традиционные алгебраические подходы, так и современные техники, такие как использование нейросетей, что добавляет актуальности в контексте новых технологий в обучении.
**Второй раздел** оформлен как практическое руководство, включающее задания на нахождение пределов. Приводятся конкретные функции, такие как \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \) и \( f(x) = 4x + 2x^2 \), и для каждой из них предложено использовать нейросеть для нахождения предела. Этот раздел детализирует процесс нахождения пределов, разлагая его на шаги и показывая, как использовать алгебраические преобразования и основные формулы. Читатель может выбрать между помощью нейросети и классическим ручным способом вычислений.
В заключительной части книги рассматриваются более сложные примеры, такие как \( f(x) = \frac{(1+x)^{1/2} - (1-x)^{1/2}}{3x} \) и \( f(x) = \frac{7^x - 3^x}{x} \). Эти примеры иллюстрируют, как можно справляться с неопределенностями, которые часто возникают при подстановке.
В частности, книга подробно разбирает метод решения ограничений для функций, где возникают неопределенности типа \( \frac{0}{0} \). Например, при поиске предела функции \( f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 2x - 3} \) при \( x \to 1 \) применяется альтернативный метод: деление числителя и знаменателя на общий фактор, что позволяет избежать неопределенности и находить предел равным \(-\frac{1}{4}\).
Кроме того, излагается решение для функции \( f(x) = \frac{\sqrt{1 + 3x} - \sqrt{2x + 6}}{x^2 - 5x} \), где возникает неопределенность при подстановке. Для её разрешения используется разложение в ряд Тейлора, что предоставляет новое упрощенное выражение и позволяет вычислить предел при \( x \to 5 \) и получить значение \(\frac{1}{10}\).
Книга также подробно охватывает функцию \( f(x) = \frac{7^x - 3^x}{x} \) при \( x \to 0 \). В этом случае для решения была применена техника разложения в ряд Тейлора для экспоненциальных функций, что привело к окончательному значению предела \(\ln\left(\frac{7}{3}\right)\).
В завершение, читатели получают две дополнительные задачи, демонстрирующие применение методов нахождения пределов для различных функций, что усиливает понимание и закрепляет материал. Книга охватывает как традиционные, так и современные методы нахождения пределов, подчеркивая их практическое значение и роль в математическом анализе.
