Путеводитель для влюбленных в математику - стр. 7

.

Например, 24 делится на 6 (потому что частное от деления – целое число), но не на 7 (потому что частное не является целым числом). Всякое положительное целое число делится само на себя: если а – положительное целое число, то частное от а / а равно 1, и это, разумеется, целое число. Также всякое положительное целое число делится на 1, потому что, если а – положительное целое число, результат деления а / 1 равен а.

Положительное целое число называется простым, если у него есть ровно два делителя: 1 и оно само.

Например, 17 – простое число, потому что 1 и 17 – его единственные делители. По той же причине 2 – простое число.

С другой стороны, 18 не является простым числом, потому что помимо 1 и самого себя оно делится на 2, 3, 6 и 9. Такие числа, как 18, называют составными. Если говорить математическим языком, то положительное целое число называют составным, если у него есть другие делители помимо 1 и самого себя.

Размежевание чисел на простые и составные касается всех натуральных чисел, кроме 1. Мы выделяем 1 в отдельную категорию и называем единичным элементом, или единицей[15]. Кого-то расстраивает тот факт, что Плутон больше не причисляют к планетам, другие раздражены тем, что 1 не считается простым числом.

Если подытожить, у нас есть три категории положительных целых чисел:

• единица с одним положительным делителем;

• простое число с двумя положительными делителями;

• составное число с тремя и более положительными делителями.

Отмечу, что 1 – единственное в своем роде число, а вот составных чисел бесконечно много: 4, 6, 8, 10, 12 и т. д. – составные числа (и таких еще много).

Но сколько же простых чисел существует?

Разложить число на множители означает представить его в виде произведения. Рассмотрим число 84. Мы можем разложить его на множители несколькими способами, например:

В пределе разложить на множители означает найти произведение простых чисел, например: 84 = 2 × 2 × 3 × 7. Нельзя разбить эти множители на части, потому что каждый из них представляет собой простое число. Разумеется, мы можем добавить какое-то количество единиц, например:

но дополнительные множители усложняют, а не упрощают выражение, другие множители от этого не становятся меньше[16].

Возьмем другой пример: 120. Мы можем представить 120 как 12 × 10 и затем 12 как 2 × 2 × 3, а 10 – как 2 × 5. Это дает:

С другой стороны, мы можем начать так: 120 = 4 × 30 и далее заметить, что 4 = 2 × 2, а 30 = 2 × 3 × 5. Вместе это дает: