Завет «темных веков». Термины и концепты Освальда Шпенглера - стр. 17

Пифагор, – пишет Шпенглер, – изрек решающую формулу: число было для него межевым знаком ставшего. А вот Евклид, завершивший в стереометрии античную математику в 3 в. до н. э., «говоря о треугольнике, с глубочайшей необходимостью имеет в виду ограниченную поверхность тела, но никогда – систему трех пересекающихся линий или группу трех точек в трехмерном пространстве. Он характеризует линию как „длину без ширины“. В наших устах эта дефиниция была бы жалкой. В пределах античной математики она превосходна». Но что же здесь жалкого? Длина без ширины – самое короткое определение, самый компактный алгоритм для понимания. Никакого даже сравнительно компактного определения для понятия «кривая» современная математика не знает. Она занимается классами кривых, каждый раз измышляя свое – весьма нетривиальное – определение.

Шпенглер в противовес мнению Канта считал, что «западное» число «изошло не из времени, как априорной формы созерцания, но в качестве порядка однородных единиц является чем-то специфически пространственным». «Античное число не есть мышление о пространственных отношениях, но о размежеванных для телесного глаза и осязаемых единицах. Поэтому античность – это следует необходимым образом – знает только „естественные“ (положительные, целые) числа, которые среди многих в высшей степени абстрактных родов чисел западной математики, комплексных, гиперкомплексных, неархимедовских и прочих систем играют ничем не примечательную роль».

Получается, что представление об иррациональных числах и всяческих «не совсем числах» было недосягаемо для греческого ума. Евклид говорил, что несоизмеримые отрезки ведут себя «не как числа». Простой счет и простое измерение отрезков не входят в понимание сущности числа и зыбкости самого измерения, как только оно выходит в плоскость и разграничивает и размечает пространство.

Мы оспорим этот тезис. Действительно, иррациональные числа – это «не числа». Ими невозможно оперировать в общепринятой записи. Они могут записываться как два числа и связывающий их оператор, как число и оператор, порождающий последовательность чисел, в пределе приближающихся к иррациональному «числу». Поскольку исчисление иррациональности имеет смысл только до какого-то разумного предела, то упрекать греков в том, что они этого не делали – нелепо. Операциональное представление иррациональности также гораздо удобнее, если иррациональности при вычислениях «съедают» друг друга.

Трансцендентные числа не получили разрешения, подобно тому, как гипотенуза обнаружила свою сущность через дополнительное измерение в теореме Пифагора. Число «пи» не вписывается в геометрию: циркуль и линейка оказываются принципиально разными инструментами, применимыми для разных измерений, не сводимых одно к другому. Трансцендентные числа, не имеют основы в алгебраических уравнениях. Они следуют правилу: «Кривое не может сделаться прямым» (Экклесиаст). Экспонента – аналогичная «неправильность», заменяющая всюду возникающий из какого-то иного мира бесконечный ряд, сумма которого не получает счетного значения. И подобными «иномерными» объектами полны физико-математические теории. В каких-то иных измерениях они должны быть «единицами», реперами, от которых идет простейший счет.