Таблица квадратов чисел до 100 за неделю. Как выучить квадраты чисел без зубрежки за неделю - стр. 3

43^>2= (40+3)^> 2=40^>2+2*40*3+3^>2=1600+240+9=1849

37^>2= (40—3)^> 2=40^>2—2*40*3+3^>2=1600—240+9=1369

Если рассматривать числа, которые отстают (возрастают) на 4 единицы, то сложность вычислений по сравнению с другими методами или даже другим выбором «круглого» квадрата очень большая:

44^>2= (40+4)^> 2=40^>2+2*40*4+4^>2=1600+320+16=1936

36^>2= (40—4)^> 2=40^>2—2*40*4+4^>2=1600—320+16=1296

Сравните с другими методами:

а) формула квадратов для чисел от 25 до 50

44^>2= (44—25) *100+ (50—44)^{> 2}=1900+36=1936

36^>2= (36—25) *100+ (50—36)^{> 2}=1100+196=1296;

б) формула сокращенного умножения с выбором другого квадрата

44^>2= (45—1)^{> 2}=45^>2—2*45*1+1^>2=2025—90+1=1936

36^>2= (35+1)^{> 2}=35^>2+2*35*1+1^>2=1225+70+1=1296

Таким образом можно сделать вывод что формулы сокращенного умножения удобно использовать, если число близко к круглому числу (оканчивающимся на 0 или на 5) на одну единицу. В остальных случаях (числа заканчиваются на цифры 3 и 7) лучше использовать другие формулы для вычислений.

Метод близкого квадрата использует формулы сокращенного умножения в другом виде. Для использования метода необходимо знать квадрат числа соседнего с искомым числом. Соседнее число, это число на единицу больше или меньше числа, для которого ищем квадрат. Если непонятно сейчас, то на примерах станет понятно.

Правило:

Чтобы найти квадрат следующего (предыдущего)числа, необходимо к квадрату предыдущего числа прибавить (отнять)число, которое у которого знали квадрат и само число, у которого ищем квадрат.

Метод близкого квадрата неудобно применять для чисел, оканчивающихся на цифры 3 и 7, так обычно немногие помнят или могут быстро подсчитать ближайшие квадраты.

Пример 1.

Необходимо найти 31^>2, зная квадрат числа 30: 30^>2=900

Здесь 31 следующее число после 30. 900 квадрат числа 30, который известен или его легко подсчитать очень быстро.

31^>2=900+30+31=961

Пример 2.

Необходимо найти 29^>2, зная квадрат числа 30: 30^>2=900

Здесь 29 предыдущее число от 30, квадрат, которого известен. Так как нам нужно квадрат предыдущего, то мы отнимаем числа:

29^>2=900-30-29=841

Доказательство.

Доказательство сразу получается, если формулы сокращенного умножения немного переформулировать, учитывая, что b=1

(a+1)^> 2=a^>2+2*a*1+1^>2= a^>2+2*a+1=a^>2+a+ (a+1)

(a‒1)^> 2=a^>2—2*a*1+1^>2= a^>2—2*a+1=a^>2‒a‒ (a‒1)

Получим, что a+1 и а-1, это число, которое нужно возвести в квадрат. Число а это число квадрат, которого известен а^>2.

На своих уроках я проделываю такой опыт. Выписываем все квадраты от 91 до 99. Квадраты можно посчитать различными способами (смотри соответствующие главы – Метод близкого квадрата, Формулы сокращенного умножения и др.):