Форма реальности

Когда южноамериканские шаманы: страница 10 в работе Benny Shanon’s, “Ayahuasca Visualizations: A Structural Typology,” Journal of Consciousness Studies 9, no. 2 (2002): 3–30, просто на случай, если вы подумали, что я говорю о собственном опыте.

Игра слов: Hell’s Angles звучит похоже на Hells Angels. «Ангелы ада» – один из крупнейших в мире клубов байкеров. Прим. пер.

Название песни можно перевести примерно так: «Круто быть нормальным», то есть не бунтарем, а законопослушным, обычным, скучным человеком. Прим. пер.

Можете попробовать пройти с ребенком: Jillian E. Lauer and Stella F. Lourenco, “Spatial Processing in Infancy Predicts Both Spatial and Mathematical Aptitude in Childhood,” Psychological Science 27, no. 10 (2016): 1291–98.

Все парни имели степени: Margalit Fox, “Katherine Johnson Dies at 101; Mathematician Broke Barriers at NASA,” New York Times, Feb. 24, 2020, из интервью 2010 года в Fayetteville (NC) Observer.

Перевод Т. Стамовой. Прим. ред.

Покоя не давал: цитируется, например, в работе Newton P. Stallknecht, “On Poetry and Geometric Truth.” The Kenyon Review 18, no. 1 (1956): 2.

Так я часто: John Newton, An Authentic Narrative of Some Remarkable and Interesting Particulars in the Life of John Newton, 4th ed. (Printed for J. Johnson, 1775), 75–82.

Вордсворт был большим поклонником: Thomas De Quincey, The Works of Thomas De Quincey, vol. 3–4 (Cambridge, MA: Houghton, Mifflin, and Co.; The Riverside Press, 1881), 325.

Вордсворт в математике не преуспевал: смотрите письмо от 26 июня 1791 года от сестры поэта Дороти Вордсворт к Джейн Поллард (Letters of the Wordsworth Family From 1787 to 1855, ed. William Knight, vol. 1 (Cambridge: Ginn and Company, 1907), 28), в котором говорится, что Вордсворт не смог получить стипендию в Кембридже, поскольку не смог заставить себя изучать математику. «Он читает на итальянском, испанском, французском, греческом, латинском и английском, но никогда не открывал ни одной математической книги».

Именно он, по мнению некоторых: Joan Baum, “On the Importance of Mathematics to Wordsworth,” Modern Language Quarterly 46, no. 4 (1985): 392.

Гамильтон с ранней юности был очарован: письмо Гамильтона кузену Артуру от 4 сентября 1822 года воспроизводится в книге Robert Perceval Graves, Life of Sir William Rowan Hamilton, vol. 1 (Dublin: Hodges Figgis, 1882), 111.

Гамильтон с честью вышел: по крайней мере, так утверждает Роберт Персеваль Грейвс в очерке о Гамильтоне в журнале Dublin University Magazine 19 (1842): 95, написанном еще при жизни Гамильтона, и то же самое он повторяет на с. 78 своей книги Life of Sir William Rowan Hamilton (указанной выше). История появляется практически во всех более поздних биографиях Гамильтона, и все они, насколько я могу судить, опираются в качестве источника на Грейвса. В письмах Гамильтон описывает встречу с Колберном в 1820 году и тот факт, что он «видел», как тот производит вычисления, однако я не нашел никаких писем, которые касались бы соревнования; Колберн в своих мемуарах, указанных ниже, также не упоминает о таком состязании и даже вообще о встрече с Гамильтоном, хотя весьма гордо говорит о других вундеркиндах, с которыми встречался и которых превзошел. А имело ли место вообще это соревнование?

Лондонский хирург удалил его: Zerah Colburn, A Memoir of Zerah Colburn: Written by Himself. Containing an Account of the First Discovery of His Remarkable Powers; His Travels in America and Residence in Europe; a History of the Various Plans Devised for His Patronage; His Return to this Country, and the Causes which Led Him to His Present Profession; with His Peculiar Methods of Calculation (Springfield, MA: G. and C. Merriam, 1833), 72.

Колберн слабо понимает причины того: Graves, Life of Sir William Rowan Hamilton, 78–79.

Полночную прогулку: письмо Гамильтона Элизе Гамильтон от 16 сентября 1827 года цитируется по книге Graves, Life of Sir William Rowan Hamilton, 261.

На званом обеде: Tom Taylor, The Life of Benjamin Robert Haydon, vol. 1 (London: Longman, Brown, Green, and Longmans, 1853), 385.

К 1922 году, когда Миллей это написала, Евклид фактически уже не был один: неевклидовы геометрии (по-своему столь же прекрасные без одежды) были уже не только известны, но и осознавались (благодаря Эйнштейну) как истинная геометрия пространства-времени, как мы увидим в главе 3. Меня заинтересовало, знала ли об этом Миллей и намеренно ли использовала анахроничный образ, однако мои друзья-литературоведы сказали, что она вряд ли была в курсе последних достижений в математической физике.

По словам Линкольна, в основе: “Mr. Lincoln’s Early Life: How He Educated Himself,” New York Times, Sep. 4, 1864: 5. Конечно, цитата из Линкольна взята из воспоминаний Гулливера и не может считаться точным воспроизведением его слов.

В оригинале demonstrate, demonstration – именно эти слова используются при описании действий Евклида в английских текстах. Прим. пер.

«Американское общество трактатов» (American Tract Society) – некоммерческая организация, которая была основана в 1825 году и занимается публикацией и распространением христианской литературы. Прим. пер.

Мне говорили, что: воспоминания Херндона цитируются по работе Jesse William Weik, The Real Lincoln; a Portrait (Boston: Houghton Mifflin, 1922), 240. Я узнал эту историю из замечательной книги Дэйва Ричесона: Tales of Impossibility (Princeton: Princeton University Press, 2019), в которой есть все, что вы хотите знать о квадратуре круга, трисекции угла и так далее.

Как геометр: перевод мой. Перевод misurar lo cerchio как квадрировать круг убедительно оправдан в работе R. B. Herzman and G. W. Towsley, “Squaring the Circle: Paradiso 33 and the Poetics of Geometry,” Traditio 49 (1994): 95–125.

«Божественная комедия», «Рай», песнь тридцать третья. Перевод М. Лозинского. Прим. пер.

Оказавшись в библиотеке некоего джентльмена: John Aubrey, ‘Brief Lives,’ Chiefly of Contemporaries, Set down by John Aubrey, between the Years 1669 & 1696, ed. Andrew Clark, vol. 1 (Oxford: Oxford University Press, 2016), 332; https://www.gutenberg.org/files/47787/47787-h/47787-h.htm.

Это теорема Пифагора. Прим. пер.

Гоббс возразил: F. Cajori, “Controversies in Mathematics Between Hobbes, Wallis, and Barrow,” Mathematics Teacher 22, No. 3 (March 1929): 150.

Долгая и, откровенно говоря, смешная история войны Гоббса с его терпеливыми математическими критиками изложена в главе 7 книги Амира Александра «Бесконечно малые».

Все, что они знают о геометрии: рецензия на Geometry without Axioms, в Quarterly Journal of Education XIII (1833): 105.

Слово «утверждение» (proposition): источник этой идеи – A. Kucharski, “Euclid as Founding Father,” Nautilus, Oct. 13, 2016; http://dev.nautil.us/issue/41/selection/euclid-as-founding-father.

Можно с уверенностью утверждать: Abraham Lincoln, The Collected Works of Abraham Lincoln, ed. Roy P. Basler et al., vol. 3 (New Brunswick, NJ: Rutgers University Press, 1953), 375; http://name.umdl.umich.edu/lincoln3.

Хотя оборот «Мы считаем эти истины самоочевидными» не принадлежит Джефферсону; в его проекте Декларации было написано: «Мы считаем эти истины священными и неоспоримыми». Именно Бенджамин Франклин вычеркнул эти слова и заменил их на «самоочевидные», сделав документ чуть менее библейским и чуть более евклидовым.

Всего лишь роскошь: Thomas Jefferson, The Essential Jefferson, ed. Jean M. Yarbrough (Indianapolis: Hackett Publishing, 2006), 193.

Я отказался от газет: Thomas Jefferson, The Papers of Thomas Jefferson, Retirement Series, ed. J. Jefferson Looney, vol. 4 (Princeton: Princeton University Press, 2008), 429; https://press.princeton.edu/books/ebook/9780691184623/the-papers-of-thomas-jefferson-retirement-series-volume-4.

Для Линкольна, в отличие от Джефферсона: о разнице между концепциями геометрии у Линкольна и Джефферсона смотрите: Drew R. McCoy, “An ‘Old-Fashioned’ Nationalism: Lincoln, Jefferson, and the Classical Tradition,” Journal of the Abraham Lincoln Association 23, no. 1 (2002): 55–67.

Многие молодые люди: тот же автор и та же рецензия, что уже цитировалась в связи с квадратурой круга: Quarterly Journal of Education, vol. XIII (1833): 105. Этот анонимный автор весьма часто цитируется!

За исключением одной, но этот спорный постулат о параллельных прямых и начавшийся с него двухтысячелетний путь к неевклидовой геометрии обсуждается во многих других местах и здесь будет лишь упомянут.

– Голубчики, – сказал Федор Симеонович озабоченно, разобравшись в почерках. – Это же проблема Бен Бецалеля. Калиостро же доказал, что она не имеет решения.

– Мы сами знаем, что она не имеет решения, – сказал Хунта, немедленно ощетиниваясь. – Мы хотим знать, как ее решать.

– Как-то странно ты рассуждаешь, Кристо… Как же искать решение, когда его нет? Бессмыслица какая-то…

– Извини, Теодор, но это ты очень странно рассуждаешь. Бессмыслица – искать решение, если оно и так есть. Речь идет о том, как поступать с задачей, которая решения не имеет. Это глубоко принципиальный вопрос…

Стругацкие А. и Б. «Понедельник начинается в субботу». Прим. науч. ред.

Поставьте куб: William George Spencer, Inventional Geometry: A Series of Problems, Intended to Familiarize the Pupil with Geometrical Conceptions, and to Exercise His Inventive Faculty (New York: D. Appleton, 1877), 16. Британское издание появилось в 1860 году.

Это действительно плохо поставленный вопрос: при такой расстановке очевидно, что назвать шириной, высотой и глубиной. Видимо, тут имеется тонкое различие в описании «с точки зрения куба», у которого нет выделенных длины, ширины и толщины, потому что они равны, и со стороны внешнего наблюдателя, который использует естественные для него координаты в трехмерном пространстве. Прим. науч. ред.

В одной из книг по арифметике, последний раз использованной в 1930 году, я нашел пометку карандашом: «Смотри страницу 170»; на 170-й странице было другое указание: «Смотри страницу 36», где я увидел новую команду, и т. д., пока не добрался до последней страницы, где было написано: «Ты дурак!» Десятилетний мальчик разыграл меня с того света.

Здесь уместно напомнить, что Джордж Элиот – псевдоним писательницы Мэри Анн Эванс.

«Мельница на Флоссе». Книга вторая, глава первая. Перевод Л. Поляковой и Г. Островской. Прим. пер.

«Мельница на Флоссе». Книга вторая, глава первая. Перевод Л. Поляковой и Г. Островской. Прим. пер.

Именно живого интереса к предмету: James J. Sylvester, “A Plea for the Mathematician,” Nature 1 (1870): 261–63.

В ходе опроса 1950 года: Kenneth E. Brown, “Why Teach Geometry?” Mathematics Teacher 43, no. 3 (1950): 103–6; https://www.jstor.org/stable/27953519.

Много раз я видел: H. C. Whitney, Lincoln the Citizen (Baker & Taylor, 1908), 177. Если честно, то пример заблуждения, который Уитни приводит сразу после этого (он включает вопрос, можно ли сказать, что у корпорации есть душа), не кажется мне неудачей дедуктивной логики.

Было морально невозможно: Whitney, Lincoln the Citizen, 178.

Отсылка к популярному прозвищу Линкольна – Честный Эйб. Прим. пер.

Доказательство – это: слова Орлина взяты из его поста от 16 октября 2013 года: “Two-Column Proofs That Two-Column Proofs Are Terrible,” Math with Bad Drawings (blog), mathwithbaddrawings.com/2013/10/16/two-column-proofs-that-two-column-proofs-are-terrible/.

Типичный формат: материал о Комитете десяти и истории доказательства в два столбца взят из работы P. G. Herbst, “Establishing a Custom of Proving in American School Geometry: Evolution of the Two-Column Proof in the Early Twentieth Century,” Educational Studies in Mathematics 49, no. 3 (2002): 283–312.

В сценарии Тони Кушнера для фильма Стивена Спилберга «Линкольн» президент ссылается на это в драматический момент.

Рогатая сфера Александера делит трехмерное пространство на две части, как и обычная сфера, но другим способом: в то время как на плоскости по теореме Шенфлиса две получающиеся части топологически эквивалентны кругу и плоскости с круглой дыркой для любой кривой без самопересечений. См. Фукс Д. Б. Рогатая сфера Александера. Квант (1990) № 6. Прим. науч. ред.

В математике существует немало вещей, которые кажутся очевидными, но при этом неверны. Рассмотрим утверждение: сплошной шар радиусом 1 сантиметр нельзя разбить на конечное число частей и сложить из них сплошной шар радиусом 1 километр. Утверждение кажется очевидным, однако оно ложно: такое разбиение возможно (парадокс Банаха – Тарского). Аналогично интуиция отрицает существование непрерывной функции, у которой ни в одной точке нельзя провести касательную. Однако такие функции существуют. Поэтому, увы, даже вроде бы очевидные вещи в математике приходится доказывать. Прим. пер.

Градиент – векторная величина, показывающая направление наибольшего возрастания числовой величины в разных точках какого-либо пространства. Здесь автор использует понятие в переносном смысле – как синоним подъема в гору. Прим. пер.

Градиент уверенности: Ben Blum-Smith, “Uhm Sayin,” Research in Practice (blog), http://researchinpractice.wordpress.com/2015/08/01/uhm-sayin/.

В истории математики его часто называют Бхаскара II, чтобы отличать от более раннего математика с таким же именем.

Некоторые источники полагают, что доказательство Бхаскары было взято из более раннего китайского математического текста «Чжоу би суань цзин», однако по этому поводу ведутся споры; если на то пошло, то неясно, было ли у самих пифагорейцев то, что мы именуем сейчас доказательством.

Он настолько высоко ценил свою схему: Bill Casselman, “On the Dissecting Table,” Plus Magazine, Dec. 1, 2000; https://plus.maths.org/content/dissecting-table.

Вы, несомненно, видели: Henri Poincaré, The Value of Science, trans. G. B. Halsted (New York: The Science Press, 1907), 23.

Это не совсем так, как сформулировано у Евклида, но эквивалентно его пятому постулату, который он сформулировал еще более топорно и запутанно. [Формулировка Евклида: «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых». «Начала», книга I. Перевод Д. Мордухай-Болтовского. Прим. пер.]

Латинское выражение in medias res (буквально «в середине вещей») используется, когда в литературном произведении сюжет начинается с ключевого эпизода, без предыстории и долгих описаний. Прим. пер.

* Зря: если совсем строго, надо еще доказать, что прямая L пересекает отрезок ВС. Прим. науч. ред.

Сокращение латинских слов Quod Erat Demonstrandum, означающих «что и требовалось доказать».

В Соединенных Штатах стандарты образования Common Core, которые должны были обеспечить универсальную базу для обучения детей по двенадцатилетней системе K-12, сейчас явно сдают позиции. В них действительно требуется, чтобы на уроках геометрии рассматривали симметрию. Остается надеяться, что, когда стандарты Common Core отступят, обсуждение симметрии останется в программах, подобно ледниковой морене.

Существует как минимум одно исследование: M. J. Nathan, et al., “Actions Speak Louder with Words: The Roles of Action and Pedagogical Language for Grounding Mathematical Proof,” Learning and Instruction 33 (2014): 182–93.

Хотя частота построения формального доказательства сделанного вывода при этом не увеличивалась!

Когда ему требовалось: Jeremy Gray, Henri Poincaré: A Scientific Biography (Princeton: Princeton University Press, 2012), 26.

Появился в статье 1970 года: David Lewis and Stephanie Lewis, “Holes,” Australasian Journal of Philosophy 48, no. 2 (1970): 206–12.

Затем этот вопрос всплыл в 2014 году:https://forum.bodybuilding.com/showthread.php?t162056763&page=1.

Затем появился ролик: этот видеоролик был скопирован на многих сайтах, например metro.co.uk/2017/11/17/how-many-holes-does-a-straw-have-debate-drives-internet-insane-7088560/.

Сняла видео, которое:www.youtube.com/watch?v=W0tYRVQvKbM.

Нет, вы раскатываете: честно говоря, среди изготовителей бубликов есть и те, кто делает змейку и соединяет ее в кольцо, и те, кто делает круглую лепешку и пробивает отверстие в середине. Однако никто из них не делает дырку в уже готовом выпеченном хлебе без дырок.

Прежде всего я вспоминаю его глаза: Galina Weinstein, “A Biography of Henri Poincaré–2012 Centenary of the Death of Poincaré,” ArXiv preprint server, July 3, 2012, 6; https://arxiv.org/pdf/1207.0759.pdf.

Утрата Эльзаса: Gray, Henri Poincaré, 18–19.

В 1889 году он получил: June Barrow-Green, “Oscar II’s Prize Competition and the Error in Poincaré’s Memoir on the Three Body Problem,” Archive for History of Exact Sciences 48, no. 2 (1994): 107–31.

Пуанкаре отличался редкой пунктуальностью: Weinstein, “A Biography of Henri Poincaré,” 20.

В Париже ходила шутка: Tobias Dantzig, Henri Poincaré: Critic of Crisis (New York: Charles Scribner’s Sons, 1954), 3.

Он был не только: Gray, Henri Poincaré, 67.

Геометрия – это искусство: “La Géométrie est l’art de bien raisonner sur des figures mal faites.” Henri Poincaré, “Analysis situs,” Journal de l’École Polytechnique ser. 2, no. 1 (1895): 2.

Окружности, которые он рисовал: Dantzig, Henri Poincaré, 3.

Термин «выпуклый» означает примерно «выгибающийся только наружу, а не внутрь». Подробнее об этом – в главе 14, где мы встретимся с еще более вычурными формами избирательных округов.

Точнее, так: квадрат – это окружность, если нас интересуют топологические вопросы, например: сколько отверстий в фигурах, которые они ограничивают, или на сколько частей распадаются такие фигуры. Если же вас волнуют вопросы вроде «сколько касательных можно провести к кривой в одной точке», то квадрат и окружность сильно отличаются.

Хотя эта фигура не является всюду выпуклой. Прим. науч. ред. [Научный редактор всегда должен быть в педантичном настроении. Прим. науч. ред.]

Нет, я не знаю, как вы умудряетесь пить коктейль, чтобы через одну соломинку проходило в 1^>2/_>3 раза больше жидкости, чем через другую. Но вы уже подарили мне соломинку в форме штанов, так что с равным успехом можете продолжать этот мысленный эксперимент.

Новаторство Нётер: ради справедливости по отношению к Пуанкаре отметим, что Леопольд Вьеторис, работавший на заре топологии и скончавшийся в 2002 году в возрасте 110 лет, указывал, что Пуанкаре понимал, что штаны образуют пространство, но не выразил это в своей работе. Я предпочитаю действия Нётер. (Saunders Mac Lane, “Topology Becomes Algebraic with Vietoris and Noether,” Journal of Pure and Applied Algebra 39 (1986): 305–07.) Сам Вьеторис независимо от Нётер и примерно в то же самое время формализовал это же понятие, однако в те дни математические результаты Вены не сразу становились известны в Геттингене, и наоборот.

Сегодня это считается самоочевидным: “Diese Tendenz scheint heute selbstverstandlich; sie war es vor acht Jahren nicht; es bedurfte der Energie und des Temperamentes von Emmy Noether, um sie zum Allgemeingut der Topologen zu machen und sie in der Topologie, ihren Fragestellungen und ihren Methoden, diejenige Rolle spielen zu lassen, die sie heute spielt.” Paul Alexandroff and Heinz Hopf, Topologie I: Erster Band. Grundbegriffe der Mengentheoretischen Topologie Topologie der Komplexe Topologische Invarianzsätze und Anschliessende Begriffsbildungen Verschlingungen im n-Dimensionalen Euklidischen Raum Stetige Abbildungen von Polyedern (Berlin: Springer-Verlag, 1935), ix. Благодарю Андреаса Зигера за помощь в переводе этого абзаца.

Одним из многих: биографический материал о Листинге взят из книги Ernst Breitenberger, “Johann Benedikt Listing,” History of Topology, ed. I. M. James (Amsterdam: North-Holland, 1999), 909–24.

Листинг открыл эту поверхность в июле 1858 года, а Мёбиус – в сентябре 1858-го. Прим. пер.

Джон Джеймс Одюбон – американский натуралист и художник, стремившийся изобразить всех птиц Америки. Прим. пер.

Сегодня никто не сомневается: Poincaré, “Analysis situs,” 1.

Для физика скорость означает не только численное значение, но и направление; вам требуется отслеживать скорость перемещения в направлении на север, восток и вверх, то есть всего три величины.

Сравните это с ситуацией с Джефферсоном. Он был одним из самых ярых сторонников идей свободы и равенства, которые вдохновляли революцию, но одновременно всю жизнь использовал рабский труд, несмотря на словесное неприятие, и сомневался, что чернокожий человек «способен проследить и понять исследования Евклида». Хотя он и любил Евклида, он никогда не мог прямо взглянуть на это противоречие.

Это минимальная эйлерова характеристика для символов на вашей клавиатуре, если только у вас нет знака доллара, перечеркнутого двумя чертами (его эйлерова характеристика – 3), или символа командной клавиши на клавиатуре Apple (⌘), для которого она равна –4. Максимальная эйлерова характеристика на клавиатуре равна 2 для символов вроде! у которых два нульмерных отверстия и нет никаких других.

Snapchat – мобильное приложение обмена сообщениями с прикрепленными фото и видео. Прим. ред.

Должен добавить, что сохранение длины влечет за собой сохранение площади треугольников, поскольку два треугольника с одинаковыми сторонами конгруэнтны, а потому имеют одинаковую площадь; вы также можете воспользоваться красивой формулой Герона (названной так в честь математика Герона Александрийского), которая выражает площадь треугольника через его стороны.