Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной - стр. 18
Притча о 0,333…
Чтобы подкрепить важные идеи, что в бесконечности все упрощается и что пределы подобны недостижимым целям, возьмем пример из арифметики. Это задача преобразования обыкновенной дроби – например, 1/3 – в десятичную (в нашем случае 1/3 = 0,333…). Я хорошо помню, как моя школьная учительница математики мисс Стэнтон учила нас это делать. Запомнилось это потому, что она внезапно заговорила о бесконечности.
До этого момента я никогда не слышал, чтобы взрослые говорили о бесконечности. Мои родители определенно этого не делали. Это казалось секретом, о котором знали только дети. На детской площадке о нем постоянно упоминали в насмешках и издевках:
– Ну ты и дурак!
– А ты дурак вдвойне!
– А ты дурак бесконечность раз!
– А ты дурак бесконечность раз плюс один!
– Это то же самое, что бесконечность, идиот!
Такие поучительные разговоры убедили меня в том, что бесконечность ведет себя не так, как обычное число. Она не становится больше, если к ней прибавить 1. Даже добавление бесконечности не поможет. Несокрушимые свойства делали ее окончательным аргументом в дворовых разборках. Побеждает тот, кто применит бесконечность первым.
Однако никто из учителей до мисс Стэнтон не упоминал о бесконечности. Все в нашем классе уже знали о конечных десятичных дробях, используемых для представления денежных сумм, например 10,28 доллара, где есть две цифры после запятой. Напротив, бесконечные десятичные дроби, где после запятой было бесконечно много чисел, казались странными на первый взгляд, но становились естественными, как только мы начали изучать обыкновенные дроби.
Мы узнали, что дробь 1/3 можно записать как 0,333…, где многоточие означало, что тройки повторяются до бесконечности. Это имело для меня смысл, потому что, пытаясь поделить 1 на 3 в столбик, я застрял в бесконечном цикле: 1 меньше 3, поэтому получаем в частном ноль целых, дописываем к единице 0, делим 10 на 3, получаем 3 и остаток 1; в итоге нужно снова делить 1 на 3, то есть мы возвращаемся к тому, с чего начали. Выхода из цикла не было, а значит, тройки при делении будут повторяться: 0,333…
Многоточие после 0,333 истолковывается двумя способами. Наивное толкование состоит в том, что существует буквально бесконечное количество троек, находящихся справа от десятичной запятой вплотную друг к другу. Конечно, мы не можем записать их все, раз их бесконечно много, но с помощью многоточия показываем, что они там есть, по крайней мере в нашей голове. Я назову такую интерпретацию актуальной бесконечностью Преимущество ее в том, что она выглядит простой и здравой, пока мы не желаем особо задумываться о том, что означает бесконечность.