Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной - стр. 20

Но что, если бы мы могли пройти весь путь до актуальной бесконечности? Был бы итоговый многоугольник с бесконечным количеством углов и бесконечно короткими сторонами кругом? Заманчиво так думать, ведь тогда многоугольник окажется гладким. Все углы будут сошлифованы. Все станет идеальным и красивым.

Здесь заложен общий принцип: пределы часто проще, чем приближения, ведущие к ним. Круг проще и изящнее, чем любой из угловатых многоугольников, к нему приближающих. То же самое относится и к доказательству с помощью пиццы, где предельный прямоугольник проще и элегантнее, нежели бугристые фигуры с некрасивыми выступами, и к дроби 1/3. Это проще и приятнее, нежели любое из неуклюжих приближений с большими числителями и знаменателями вроде 3/10, 33/100 или 333/1000. Во всех этих случаях предельная фигура или число проще и симметричнее, чем конечные приближения.

В этом и состоит очарование бесконечности. Здесь все становится лучше.

Помня об этом, давайте вернемся к притче о многоугольнике с бесконечно большим количеством углов. Нужно ли сделать решительный шаг и сказать, что круг – это действительно многоугольник с бесконечно большим количеством бесконечно малых сторон? Нет. Мы не должны поддаваться искушению и так поступать, поскольку это означает впасть в грех актуальной бесконечности. Это обрекло бы нас на логический ад.

Чтобы понять, почему, предположим, что мы на миг подумали, будто круг – на самом деле многоугольник с бесконечным числом углов и бесконечно малыми сторонами. Какова длина этих сторон? Если она равна 0, то общая длина всех сторон – бесконечность, умноженная на 0, – должна давать длину окружности. Но представьте окружность вдвое большего размера. Точно так же ее длина должна равняться бесконечности, умноженной на 0. Получается, бесконечность, умноженная на 0, должна равняться и длине нашей окружности, и вдвое большему числу. Что за ерунда? Не существует разумного способа определить результат умножения бесконечности на ноль, а потому нет разумного способа рассматривать круг как правильный многоугольник с бесконечным числом сторон.

Тем не менее в таком интуитивном представлении есть нечто искушающее. Подобно библейскому первородному греху, по той же причине трудно сопротивляться и первородному греху анализа – соблазну считать, что круг – это правильный многоугольник с бесконечным числом сторон. Он соблазняет нас запретным знанием, идеями, недоступными для обычных средств. На протяжении тысячелетий геометры пытались вычислить длину окружности. Если бы круг можно было заменить многоугольником со множеством крохотных прямых сторон, задача была бы гораздо проще.