Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной - стр. 21
Прислушиваясь к шипению этого змея-искусителя – но все же сдерживаясь, используя потенциальную бесконечность вместо более заманчивой актуальной, – математики научились решать задачу о длине окружности и другие загадки кривых. В следующих главах мы узнаем, как им это удалось, а пока попробуем еще глубже понять, насколько опасной может быть актуальная бесконечность. Этот грех ведет ко многим другим, включая тот, о котором учителя предупреждали нас в первую очередь.
Грех деления на ноль
Во всем мире школьников учат, что делить на ноль нельзя. Должно быть, они шокированы существованием такого табу. Предполагается, что числа дисциплинированны и хорошо себя ведут. Урок математики – место для логики и рассуждений. И все же можно задавать о числах простые вопросы, на которые нет ответов, или пытаться сделать с ними простые вещи, которые не работают или не имеют смысла. Деление на ноль – одна из них.
Корень проблемы – в бесконечности. Деление на ноль вызывает бесконечность примерно так же, как доска для спиритических сеансов – духов из другого мира. Это рискованно. Не ходите туда.
Тем, кто не в силах сопротивляться искушению и желает понять, почему в тенях скрывается бесконечность, советуем поделить 6 на какое-нибудь маленькое число, близкое к нулю, но не равное ему, например 0,1. В этом ничего запретного нет. Если разделить 6 на 0,1, получится 60, довольно прилично. Поделим 6 на еще меньшее число, скажем 0,01; ответ будет больше – 600. Если мы отважимся разделить 6 на число, которое гораздо ближе к 0, допустим, на 0,0000001, то ответ будет еще больше и составит 60 000 000. Тенденция ясна. Чем меньше знаменатель, тем больше частное. В пределе, когда знаменатель приближается к нулю, частное стремится к бесконечности. Вот настоящая причина, почему нельзя делить на 0. Малодушные говорят, что ответ неопределенный, но на самом деле он бесконечный.
Все это можно представить себе следующим образом. Вообразите, что вы делите 6-сантиметровую линию на части длиной 0,1 сантиметра. Получается 60 кусков, уложенных вплотную друг к другу.
Точно так же (но я не буду пробовать это нарисовать) эту линию можно поделить на 600 частей по 0,01 сантиметра или на 60 000 000 частей по 0,0000001 сантиметра.
Если мы продолжим и доведем это безумное деление до предела, то придем к заключению, что наша 6-сантиметровая линия состоит из бесконечного числа частей нулевой длины. Возможно, это звучит правдоподобно. В конце концов, линия состоит из бесконечного количества точек, и каждая точка имеет нулевую длину.