Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной - стр. 17
Предел подобен недостижимой цели. Вы можете подбираться к нему все ближе и ближе, но никогда не пройдете весь путь до конца.
Например, в доказательстве, использующем пиццу, мы могли приближаться к прямоугольнику, нарезая все большее количество ломтиков и переставляя их. Но истинной «прямоугольности» нам никогда не добиться. Мы можем лишь приблизиться к этому идеалу. К счастью, в анализе недостижимость предела обычно не имеет значения. Нередко мы можем решить задачу, представив, что способны достичь предела, а затем посмотрев, что следует из такого представления. Фактически многие из пионеров в этой области сделали свои великие открытия именно таким образом. Логически – нет. С воображением – да. Успешно – весьма.
Предел – это тонкое понятие, и в анализе оно занимает центральное место. Его не просто уловить, потому что в повседневной жизни эта идея не встречается. Пожалуй, ближайшей аналогией будет загадка стены. Если вы проходите половину расстояния до стены, затем половину оставшегося расстояния, потом половину оставшегося и так далее, то достигнете ли в конце концов этапа, на котором доберетесь до стены?
Очевидно, что ответ отрицателен, потому что в загадке стены на каждом этапе вы проходите только половину пути, а не весь путь. Сделаете ли вы десять шагов, миллион или любое другое число, между вами и стеной всегда останется какой-то промежуток. Однако столь же очевидно, что вы можете подойти к стене сколь угодно близко. Это означает, что на каком-то этапе вы окажетесь от нее в сантиметре, миллиметре, нанометре или на любом ином ненулевом расстоянии, но никогда не закончите свой путь. Здесь стена играет роль предела. На то, чтобы строго определить это понятие, понадобилось две тысячи лет. До тех пор пионеры анализа прекрасно обходились интуицией. Так что не волнуйтесь, если пределы кажутся вам сейчас туманными. Мы познакомимся с ними лучше, наблюдая на практике. С современной точки зрения пределы – это фундамент, на котором построен весь анализ.
Если метафора со стеной кажется вам слишком мрачной и негуманной (кому захочется вечно приближаться к недосягаемой стене?), рассмотрите такую аналогию: все, что движется к какому-то пределу, подобно герою, занятому бесконечным поиском. Это не бесполезное занятие, как бессмысленная задача Сизифа, обреченного вечно вкатывать камень на гору только для того, чтобы увидеть, как он снова скатывается вниз. Когда в математике происходит приближение к пределу (как наши фигуры с выступами приближались к предельному прямоугольнику), это подобно тому, как главный герой стремится к чему-то, что, как он знает, невозможно, но все же надеется на успех, воодушевляясь прогрессом в своих попытках достичь недостижимой звезды.