Невозможность второго рода. Невероятные поиски новой формы вещества - стр. 32
и выражается бесконечной неповторяющейся последовательностью десятичных цифр.
Числа, представляемые бесконечными непериодическими десятичными дробями, называются иррациональными, поскольку их нельзя выразить отношением двух целых чисел. Это отличает их от рациональных чисел, таких как 1/3 или 143/548, которые представляют собой отношения целых чисел и в десятичной форме записываются как 0,333… и 0,26094890510948905109… соответственно, то есть содержат периодически повторяющиеся последовательности цифр, если вычислить достаточное их количество.
Впрочем, появление золотого сечения в симметрии пятого порядка в замощении Пенроуза не то чтобы сильно поразило нас с Довом, поскольку это соотношение напрямую связано с геометрией пятиугольника. Например, на левом рисунке внизу отношение длины верхнего отрезка, соединяющего противоположные вершины пятиугольника, к длине одной из его сторон равно золотому сечению. Икосаэдр, изображенный справа, также заключает в себе золотое сечение: его двенадцать вершин образуют три взаимно перпендикулярных прямоугольника, у каждого из которых отношение длины к ширине равно золотому сечению.
По-настоящему удивило нас с Довом то, что мы обнаружили золотое сечение также и в чередовании широких (W) и узких (N) просветов.
Рассмотрим последовательность просветов W и N на рисунке со страницы 71. В ней нет никакого регулярного повторения. Если вы станете подсчитывать количество W и N, следя за соотношением этих чисел, то после учета первых трех просветов получите отношение 2 к 1, после первых пяти – 3 к 2, после первых восьми – 5 к 3 и так далее.
Есть простое арифметическое правило, которое порождает эту последовательность. Возьмем первое отношение – 2 к 1. Сложим эти два числа (2 + 1 = 3) и затем сравним сумму (3) с большим из двух исходных чисел (2). Получится новое отношение – 3 к 2, которое также оказывается очередным в последовательности, полученной для просветов. Сложим следующие два числа (3 + 2 = 5) и снова сравним результат с большим из двух предыдущих чисел – получим отношение 5 к 3.
Этот процесс можно продолжать бесконечно, получая соотношения 8 к 5, 13 к 8, 21 к 13, 34 к 21, 55 к 34 и так далее. Эти соотношения будут в точности предсказывать последовательность для амманновских просветов.
Мы с Довом сразу узнали эту последовательность целых чисел: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … Она известна как числа Фибоначчи и названа в честь итальянского математика Леонардо Фибоначчи, жившего в Пизе в XIII веке.
Отношения последовательных чисел Фибоначчи – 2:1, 3:2, 5:3, … – это отношения целых чисел, а значит, они рациональные. Однако знаменитое свойство последовательности Фибоначчи состоит в том, что чем больше становятся целые числа, тем ближе их отношение подходит к золотому сечению. Такова его связь с числами Фибоначчи.