Невозможность второго рода. Невероятные поиски новой формы вещества - стр. 24

В 1974 году Пенроуз совершил большой прорыв, когда нашел решение задачи с использованием всего двух плиток разной формы, которые он назвал “змеями” и “дротиками” (kites и darts; см. вверху). На каждой из этих плиток нарисована дуга окружности, или “лента”. Пенроуз ввел правило, согласно которому две плитки можно прикладывать друг к другу сторонами, только если ленты на обеих сторонах общего ребра состыковываются. Следование этому “правилу совмещения” не позволяет плиткам складываться в какой-либо регулярно повторяющийся рисунок. Замощение, представленное выше, демонстрирует сложный рисунок, образуемый лентой, когда много змеев и дротиков прикладываются друг к другу в соответствии с пенроузовским правилом совмещения.

В статье Гарднера описывалось множество открытых Пенроузом удивительных особенностей его оригинальных замощений, а также их дополнительные свойства, открытые позднее его другом, математиком Джоном Конвеем из Кембриджского университета.

Конвею принадлежит бессчетное множество результатов в теории чисел, теории групп, теории узлов, теории игр и других фундаментальных областях математики. Например, именно он изобрел игру “Жизнь” – знаменитую математическую модель (так называемый клеточный автомат), где реализуются некоторые аспекты самовоспроизводящихся машин и биологической эволюции.

Когда Пенроуз познакомил Конвея с новыми замощениями, тот пришел в абсолютный восторг. Он немедленно начал вырезать фигуры из бумаги и картона, складывая их и заполняя столы и все остальные поверхности своего жилища различными сочетаниями вырезанных фигур, чтобы изучить их свойства. Статья Гарднера в Scientific American включала многие из важных фактов, обнаруженных Конвеем, что помогло нам с Довом прояснить для себя некоторые на первый взгляд неочевидные свойства пенроузовских замощений.

Читая другие статьи, мы узнали, что точная форма этих плиток неважна, покуда они соединяются друг с другом способом, эквивалентным змеям и дротикам. Версия, которую нам с Довом оказалось проще анализировать, состояла из пары ромбов – широкого и узкого. Именно эти четырехугольники были использованы для создания замощения, изображенного на следующей странице.

Из одних только широких ромбов можно сложить периодический узор, равно как и из одних только узких. Также из различных комбинаций этих двух фигур можно получить другие периодические замощения.

Однако использование ромбов – это еще не все. Чтобы полностью исключить возникновение периодичности, необходимо ввести некие правила совмещения. Один из возможных подходов состоит в том, чтобы использовать ленты по аналогии с теми, что придумал Пенроуз для своих змеев и дротиков, и установить правило, гласящее, что две плитки могут соединяться, только если на ребре, по которому они граничат, состыковываются их ленты.