Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной - стр. 15

Тем не менее, как мы вскоре увидим, бесконечность оказалась манной небесной. Если учесть все открытия и технологии, которые в итоге выросли из анализа, то идея использовать бесконечность для решения трудных геометрических задач была одной из лучших в истории.

Конечно, в 250 году до нашей эры предвидеть это было невозможно. Тем не менее бесконечность тут же дала несколько впечатляющих результатов. Одним из первых и лучших стало решение давней загадки: как найти площадь круга[29].

Доказательство с помощью пиццы

Перед тем как вдаваться в подробности, давайте набросаем ход рассуждений. Наша стратегия – представить круг в виде пиццы, а затем нарезать ее на бесконечное множество кусочков и волшебным образом переложить их так, чтобы получился прямоугольник. Это даст нам ответ, который мы ищем, поскольку перекладывание кусочков, очевидно, не меняет их площадь, а находить площадь прямоугольника мы умеем: нужно умножить его длину на ширину. Результатом будет формула для площади круга.

Для такого рассуждения пицца должна быть идеализированной математической пиццей – идеально плоской и круглой, с бесконечно тонкой корочкой. Обозначим буквой С ее периметр (или длину окружности) – расстояние вдоль границы. Длина окружности – вовсе не то, что обычно интересует любителей пиццы, однако при желании мы могли бы измерить величину C с помощью рулетки.

Еще одна необходимая величина – радиус пиццы r, который определяется как расстояние от ее центра до любой точки корочки. В частности, если мы нарежем пиццу на ломтики, проводя разрезы от центра к краям, то длина прямого отрезка в таких ломтиках будет равна r.

Предположим, что мы разделили пиццу на четыре части. Их можно переложить следующим способом, но он не выглядит слишком многообещающим.

Получившаяся фигура с выступами вверху и внизу смотрится несколько странно. Это явно не прямоугольник, и определить ее площадь непросто. Похоже, нам придется отступить. Но, как и в любой драме, герою перед триумфом предстоит преодолеть трудности. Драматическое напряжение нарастает.

Однако раз уж мы тут застряли, то отметим две вещи, потому что они будут справедливы в ходе всего доказательства и в итоге дадут нам размеры искомого прямоугольника. Первая – одна половина корочки стала искривленной верхней границей новой фигуры, а вторая – нижней частью. Поэтому длина верхней границы равна C/2 и нижней границы – тоже C/2, как изображено на рисунке. Как мы увидим, в итоге эти границы превратятся в длинные стороны прямоугольника. Вторая – длина всех наклонных боковых сторон получившейся фигуры равна