Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение - стр. 10
Вопрос, разумеется, остается тем же: сколько мячей будет в комнате ровно в полночь?
В этом случае на каждом этапе в комнату добавляют 10 мячей, а убирают только один, то есть в ней становится на девять мячей больше. Поскольку эта процедура повторяется бесконечное число раз, кажется совершенно ясным, что в полночь в комнате будет бесконечно много мячей (можно даже сказать, девять раз по бесконечно много!).
Можете ли вы сказать, какие именно мячи будут в комнате? То есть номер(а) мячей, которые останутся в комнате.
Перед огромной пустой комнатой по-прежнему выложен все тот же ряд теннисных мячей с номерами 1, 2, 3, 4… За полминуты до полуночи в комнату вносят мячи 1 и 2, причем мяч 2 сразу же из нее выкидывают. За четверть минуты до полуночи в комнату вносят мячи 3 и 4, причем мяч 4 сразу же из нее выкидывают. И так далее. Тот же вопрос: сколько мячей будет в комнате в полночь?
Внезапно все становится кристально ясно.
Поскольку мы выкидываем все мячи с четными номерами, в полночь в комнате будет бесконечно много мячей, и у всех у них будут нечетные номера. Так что мы знаем, какие именно мячи останутся в комнате в полночь: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…
Разумеется, количество нечетных чисел бесконечно, и все они будут в комнате. Четные числа также образуют бесконечное множество, но они окажутся снаружи.
Можно ли сказать, что множества нечетных чисел и четных чисел меньше, чем множество всех натуральных (то есть целых положительных) чисел?
На первый взгляд можно решить, что это утверждение должно быть справедливым. Казалось бы, логично считать, что, например, множество четных чисел должно быть в два раза меньше множества всех натуральных чисел (в которое входят числа как четные, так и нечетные).
Однако посмотрим на этот вопрос вот с какой стороны: каждому натуральному числу можно сопоставить натуральное число.
Теперь мы начинаем осознавать эту умопомрачительную концепцию: хотя в множестве четных чисел пропущено каждое второе число (по сравнению с множеством всех натуральных чисел), количество элементов обоих множеств все равно одинаково. Говорят, что это множества одинаковой мощности. В этой книге мы еще поговорим о концепции мощности множества гораздо подробнее.
А это, по сути, подводит нас к вопросу еще более глубокому: можно ли вообще сравнивать бесконечные множества чисел и спрашивать, какое из них больше? Имеют ли слова «больше» и «меньше», «крупнее» и «мельче» вообще хоть какой-нибудь смысл, когда речь идет о бесконечных величинах?