Риск-менеджмент. Учебное пособие - стр. 11

Кривые безразличия не пересекаются. Между любыми двумя можно нарисовать третью. Для инвестора лучше, когда наш портфель оказывается левее и выше на приведенном рисунке, потому что при таком смещении либо увеличивается доходность, либо уменьшается риск, либо то и другое одновременно; поэтому кривая безразличия, расположенная левее и выше, предпочтительнее для инвестора.

Пусть:

N – количество активов,

x_>1 , …, x_>N –доли активов в портфеле,

Тогда доходность портфеля, r_>p, исходя из определения доходности, есть

Отсюда, очевидно, что ожидаемая доходность портфеля определяется формулой

Соответственно, для s получается, что риск портфеля есть

– коэффициент корреляции между доходностями i-ой и j-ой ценными бумагами.

Таким образом, риск^>5 портфеля s_>p^>2 будет отличаться от средневзвешенной суммы рисков каждой из входящих в него ценных бумаг на слагаемое

,

содержащее коэффициенты корреляции. Коэффициенты корреляции могут быть как положительны, так и отрицательны; а следовательно, знак числа указанного выше может быть любой.

Таким образом, объединение бумаг в портфель может значительно изменить (уменьшить или увеличить) риск по сравнению со взвешенной суммой рисков бумаг, входящих в портфель (эффект диверсификации).

Посмотрим на рисунок 1. Нарисуем допустимое множество портфелей, т.е. все портфели, которые можно составить из рассматриваемого множества ценных бумаг с заданными характеристиками (ожидаемой доходностью и стандартным отклонением) и заданными коэффициентами корреляции. Обратим внимание, что поскольку x_>1 , …, x_>N (доли активов в портфеле) – это числа, принимающие любые значения, лежащие между нулем и единицей, то количество портфелей, которое можно составить из данных активов, бесконечно велико.

Пусть есть два объекта A и B, которые оцениваются по k критериям. Оценки объектов будут иметь вид a_>1…a_>k и b_>1…b_>k. По определению, объект А доминирует объект B по Парето (или по Эджворту-Парето, так как недавно обнаружили, что Эджворт ввел этот критерий раньше) или объект А сильнодоминирует объект B, если оценки объекта A по всем критериям не хуже, чем оценки объекта B по всем критериям и хотя бы по одному критерию строго лучше, то есть

(где знаки «>=» и «>» означают «не хуже» и «строго лучше» при сравнении оценок по критерию).

Когда производится выбор из ряда альтернатив, оцениваемым по многим критериям, первым логичным шагом выбора всегда является их сравнение по Парето – ведь альтернатива, доминируемая по Парето заведомо хуже, чем доминирующая ее. Таким образом, перед тем, как производить дальнейшие действия, нужно выбрать из исходного множества альтернатив подмножество недоминируемых никакими другими по Парето и из них производить дальнейший выбор.