Радиотехника. Шпаргалка - стр. 7

Простой и широко используемой в радиотехнике линейной системой с постоянными параметрами является колебательный контур, содержащий конденсатор C, катушку индуктивности L и сопротивление R. Пусть в момент времени t = 0 на конденсаторе имеется заряд q_>0 = CU_>0. Закон изменения заряда на конденсаторе найдем на основе закона Кирхгофа:

 (14)

Учитывая, что

 и вводя обозначение  (aкоэффициент затухания, ω – собственная частота контура), представим (14) в виде

 (15)

Аналогичные уравнения получаются для напряжений на элементах L и C и для силы тока в контуре. Если ω_>0^>2 >> α^>2, решение уравнения (15) записывается в виде:

q = q_>me^>->atcos(ωt + φ), (16)

где

.

Таким образом, при ω_>0^>2 >> а^>2 зависимость заряда на конденсаторе от времени имеет характер затухающего колебания, частота которых ω, называемая частотой свободных колебаний, несколько меньше собственной частоты контура ω_>0. Ток в контуре также совершает затухающие колебания:

Начальная амплитуда колебаний:

Важным параметром колебательного контура является добротность Q, характеризующая относительное уменьшение энергии в процессе колебаний:

 (17)

где W запасенная энергия,

W_>t – энергия, теряемая за период.

В цепях постоянного тока существует лишь механизм потери энергии. Это потери на нагревание проводников, определяемые законом Джоуля – Ленца:

P_>Ом = I^>2R_>Ом,

где 

– омическое сопротивление.

Связанные с R_>Ом потери энергии называют омическими потерями. В цепях переменного тока, особенно при высокой частоте колебаний, появляются дополнительные механизмы потери энергии, потери на излучение потери в диэлектрике конденсаторов, потери, связанные с токами Фуко и гистерезисом (если катушки индуктивности имеют ферромагнитные сердечники) и др.

Добротность контура определяется по формуле:

Контур подключен к источнику внешней гармонической электродвижущей силы с амплитудой ξ_>m и начальной фазой φ_>е (рис. 3).

e = ξ_>mcos(ω)t + φ_>e) (19)

В соответствии с законом Кирхгофа получаем:

 (20)

где

.

Рис. 3

При нахождении амплитуды и начальной фазы вынужденных колебаний пользуются методом комплексных амплитуд.

 (21)

Комплексную величину

называют полным сопротивлением или импендансом последовательного контура;

где R – активное,

 – реактивное сопротивление контура.

Из условия равенства нулю реактивного сопротивления определяется резонансная частота контура:

При частоте ЭДС меньше резонансной реактивное сопротивление отрицательно и бесконечно возрастает при w → 0, т. е. при Х > 0 и бесконечно возрастает при