Пирамиды – источники огромной энергии по древним технологиям и возможности сейчас - стр. 48

Если волны, бегущие по струне во встречных направлениях, имеют синусоидальную форму, то при определенных условиях они могут образовать стоячую волну.

Пусть струна длины l закреплена так, что один из ее концов находится в точке x = 0, а другой – в точке x_>1 = L (рис. 31). В струне создано натяжение T.

Рис. 31.

По струне одновременно распространяются в противоположных направлениях две волны одной и той же частоты:

y_>1 (x, t) = A cos (ωt + kx) – волна, бегущая справа налево;

y_>2 (x, t) = —A cos (ωt – kx) – волна, бегущая слева направо.

В точке x = 0 (один из закрепленных концов струны) падающая волна y_>1 в результате отражения порождает волну y_>2. При отражении от неподвижно закрепленного конца отраженная волна оказывается в противофазе с падающей. Согласно принципу суперпозиции, который является экспериментальным фактом, колебания, вызванные встречными волнами в каждой точке струны, складываются. Таким образом, результирующее колебание в каждой точке равно сумме колебаний, вызванных волнами y_>1 и y_>2 в отдельности. Следовательно,

Это и есть стоячая волна. В стоячей волне существуют неподвижные точки, которые называются узлами. Посередине между узлами находятся точки, которые колеблются с максимальной амплитудой. Эти точки называются пучностями.

Оба неподвижных конца струны должны быть узлами. Приведенная выше формула удовлетворяет этому условию на левом конце (x = 0). Для выполнения этого условия и на правом конце (x = L), необходимо чтобы kL = nπ, где n – любое целое число. Это означает, что стоячая волна в струне возникает не всегда, а только в том случае, если длина L струны равняется целому числу длин полуволн: l = n (λ_>n/2) λ_>n = 2l/n (n = 1,2,3…)

Набору значений λn длин волн соответствует набор возможных частот fn:

f_>n = v/ λ_>n

где v = √T/μ— скорость распространения поперечных волн по струне. Каждая из частот f_>N и связанный с ней тип колебания струны называется нормальной модой. Наименьшая частота f_>1 называется основной частотой, все остальные (f_>2, f_>3, …) называются гармониками. На рис. 32 изображена нормальная мода для n = 2, а на рис. 33 показаны гармоники.

В стоячей волне нет потока энергии. Колебательная энергия, заключенная в отрезке струны между двумя соседними узлами, не транспортируется в другие части струны. В каждом таком отрезке происходит периодическое (дважды за период T) превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно как в обычной колебательной системе. Но в отличие от груза на пружине или маятника, у которых имеется единственная собственная частота