Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - стр. 15
Но слуги царя добавляли на доску все больше и больше риса, и вскоре их запасы иссякли. Чтобы заполнить половину клеток, понадобилось около 280 000 килограммов риса. И это была легкая половина доски. Сколько же зерен риса царь должен был отдать изобретателю? Этот вопрос похож на одну из задач, которые мог задавать своим бедным ученикам герр Бюттнер. Есть трудный способ решить ее: нужно сложить все 64 разных числа. Кто же захочет заниматься такой тяжелой работой? И как подошел бы к такому заданию Гаусс?
Для этого вычисления существует очень красивый шорткат, но на первый взгляд может показаться, что он только усложняет задачу. Вначале часто кажется, что шорткат ведет не к цели, а в прямо противоположном направлении. Прежде всего я дам суммарному числу зерен риса имя: я назову его Х. Это одно из самых популярных имен в математике; как я покажу в главе 3, оно и само по себе является могущественным шорткатом из арсенала математика.
Для начала я удвою то число, которое пытаюсь вычислить:
2 × (1 + 2 + 4 + 8 + 16 +… + 2>62 + 2>63).
Казалось бы, это только осложняет мне жизнь. Но посмотрите, что я сделаю дальше. Раскроем скобки:
= 2 + 4 + 8 + 16 + 32 +… + 2>63 + 2>64.
Теперь применим одну хитрость. Я собираюсь вычесть из этого выражения Х. На первый взгляд кажется, что тогда мы вернемся туда же, откуда начали: 2Х – Х = Х. Какой в этом толк? Чудо происходит тогда, когда я заменяю 2Х и Х на суммы, которые я выписал выше:
2X – X = (2 + 4 + 8 + 16 + 32 +… + 2>63 + 2>64) – (1 + 2 + 4 + 8 + 16 +… + 2 >62 + 2>63).
Почти все слагаемые взаимно уничтожаются! Не уничтожаются только 2>64 из первой части и 1 из второй. Таким образом, у нас остается только следующее выражение:
X = 2X – X = 2>64 – 1.
Вместо множества вычислений нужно выполнить всего одно – и мы узнаем, чему равно число зерен риса, которые нужно было собрать царю, чтобы заплатить изобретателю шахмат:
18 446 744 073 709 551 615.
Оно превышает количество риса, выращенного на всей нашей планете за последнее тысячелетие. Мораль здесь та, что иногда для избавления от тяжелой работы можно заняться другой тяжелой работой, после которой задачу оказывается гораздо легче проанализировать.
Как выяснил на собственном горьком опыте царь, удвоение только сначала выглядит невинно, а потом очень быстро взлетает ввысь. Таково могущество экспоненциального роста. Этот эффект ощущают на себе те, кто занимает деньги, чтобы покрыть долги. На первый взгляд предложение компании, дающей 1000 фунтов под 5 процентов в месяц кажется спасительным. Месяц спустя вы оказываетесь должны ей всего 1050 фунтов. Но проблема заключается в том, что через каждый следующий месяц сумма долга умножается еще на 1,05. Через два года долг составляет уже 3225 фунтов. К пятому году он возрастает до 18 679 фунтов. Такая система очень выгодна кредитору, но не должнику.