Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной - стр. 8
Создатели анализа осознавали такую опасность, но все же считали, что без бесконечности не обойтись. Конечно, время от времени чудовище приходило в бешенство, оставляя за собой парадоксы, путаницу и философский хаос. Однако после каждого такого случая математикам всегда удавалось усмирить монстра, рационализировать его поведение и вернуть к работе. В итоге все всегда заканчивалось хорошо. Анализ давал правильные ответы, даже когда его создатели не могли объяснить, почему. Желание обуздать бесконечность и использовать ее силу – это та нить, которая проходит через всю 25-вековую историю матанализа.
Если учесть, что математика обычно изображается точной и безупречно рациональной, все эти разговоры о желаниях и заблуждениях могут показаться неуместными. Она рациональна, но не всегда изначально. Творение интуитивно, понимание приходит позже. В истории анализа логика всегда отставала от интуиции чаще, чем в других областях математики. И это заставляет чувствовать, что эта тема особенно человечна и дружелюбна, а ее гении больше похожи на нас.
Принцип бесконечности организует рассказ об анализе вокруг какой-то методологической темы. Но анализ – это не только методология, но и загадки. Его развитию особенно способствовали три: загадка кривых, загадка движения и загадка изменения. Плодотворность их изучения доказала ценность чистого любопытства.
Задачи о кривых, движении и изменении на первый взгляд могут показаться неважными, а может, даже безнадежно заумными. Но они затрагивают настолько глубокие концептуальные вопросы, а математика так глубоко вплетена в ткань Вселенной, что их решение имело далеко идущие последствия для хода цивилизации и нашей повседневной жизни. Как мы увидим в следующих главах, мы пожинаем плоды этих исследований всякий раз, когда слушаем музыку в своих телефонах, делаем покупки в магазинах с помощью лазерных сканеров или находим дорогу домой благодаря GPS-навигатору.
Все началось с загадки кривых. Здесь я использую слово «кривые» в самом широком смысле – для обозначения любой изогнутой линии, изогнутой поверхности или изогнутого твердого тела – представьте себе резиновую ленту, обручальное кольцо, плавающий пузырь, контуры вазы или палку салями. Чтобы упростить вещи, ранние геометры, как правило, сосредоточивались на абстрактных, идеализированных версиях кривых форм и игнорировали толщину, шероховатости и текстуру. Например, математическая сфера представлялась бесконечно тонкой, гладкой, идеально круглой мембраной без толщины, неровностей или волосатости, как у кокосового ореха. Но даже при таких идеализированных представлениях изогнутые формы вызывали принципиальные трудности, поскольку там не было прямых. С треугольниками и квадратами проблем не возникало. С кубами тоже. Они состоят из прямых линий и плоскостей, соединенных между собой в углах. Нетрудно вычислить их периметр, площадь или объем. Такие задачи умели решать геометры всего мира – в Древнем Вавилоне и Египте, Китае и Индии, Греции и Японии. Но с округлыми формами дело обстояло гораздо хуже. Никто не знал, какова поверхность сферы или какой у нее объем. В древности даже вычисление длины окружности или площади круга представлялось невыполнимой задачей. Не было стартовой точки и прямых линий, от которых можно оттолкнуться. Все изогнутое казалось непостижимым.